Cреднеквадратическое совместное приближение некоторых классов функций двух переменных алгебраическими "углами"
0000-0003-3016-3575 В работе найдены некоторые точные неравенства между наилучшими совместными приближениями функций двух переменных и их промежуточных производных алгебраическими ``углами'' и усреднёнными значениями обобщённого модуля непрерывности r-ых производных $\mathcal{D}^{r}f$ $(r\in\mathbb{N})$, где $\mathcal{D}$ --- дифференциальный оператор второго порядка Чебышева в метрике пространства $L_{2,\mu}(Q)$, $Q:=\{(x,y):-1\le x,y\le1\}$ с весом Чебышева $\mu:=\mu(x,y)=1/\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$. Указанный обобщенный модуль непрерывности порождён специальным оператором обобщённого сдвига для разложения произвольной функции $f\in L_{2,\mu}(Q)$ в двойной ряд Фурье--Чебышева. Полученные результаты в виде неравенств, связывающих величины наилучшего приближения функций алгебраическими ``углами'' с двойными интегралами, содержащих модуль непрерывности $\Omega_{k}(\mathcal{D}^{r}f;t,\tau)_{2,\mu}$ на классе $L_{2,\mu}^{(r)}:=\bigl\{f\in L_{2,\mu}: \bigl\|\mathcal{D}^{r}f\bigr\|_{2,\mu}<\infty\bigr\}$, являются точными в том смысле, что существует экстремальная функция $f_{0}\in L_{2,\mu}^{(r)}$, для которой они обращаются в равенства.
УДК 517.5
Ключевые слова: приближение ``углом'', чебышевский вес, дифференциальный оператор, гильбертово пространство, оператор обобщённого сдвига, модуль непрерывности.